Odpowiedź:
Przyjmijmy, że ciąg (an) ma 2n – 1 wyrazów, gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią, wtedy
wyrazem środkowym jest an. Niech r oznacza różnicę tego ciągu. Pokażemy, że an|S2n–1
(tzn., że an jest dzielnikiem S2n–1). Obliczamy sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
Ponieważ liczba 2n – 1 jest całkowita, to S2n–1 jest wielokrotnością an, czyli an|S2n–1.
II sposób
Przyjmijmy, że ciąg ma 2n + 1 wyrazów, gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną i oznaczmy
wyraz środkowy przez x. Niech r oznacza różnicę tego ciągu. Wtedy jest n wyrazów przed
wyrazem x i n wyrazów po wyrazie x. Ciąg możemy zapisać w postaci
Obliczamy sumę S2n+1 =
= (2n + 1)x
Ponieważ liczba 2n + 1 jest całkowita, to S2n+1 jest wielokrotnością an, czyli an|S2n+1.