Odpowiedź:
I sposób
Rozwiążemy nierówność w każdym z przedziałów wyznaczonych na osi liczbowej przez argumenty, dla których |2x – 2| = 0 oraz |x| = 0 .
Ponieważ 2x – 2 = 0 dla x = 1, więc to liczby 0 i 1 wyznaczają podział.
Rozważymy naszą nierówność w każdym z przedziałów
(–∞,0), ⟨0,1) oraz ⟨1,+∞).
• Rozważmy nierówność
|2x – 2| ≥ x + |x| dla x∈(–∞,0).
Otrzymujemy wówczas, że
|x| = –x oraz |2x – 2| = –(2x – 2)
a nierówność przyjmuje postać
–(2x – 2) ≥ x + (–x)
Jej rozwiązaniem są liczby spełniające warunek:
x ≤ 1
Ponieważ rozważamy nierówność dla x∈(–∞,0), to otrzymujemy: x∈(–∞,0)
• Rozważmy teraz nierówność na przedziale ⟨0,1).
Otrzymujemy wówczas, że
|x| = x oraz |2x – 2| = –(2x – 2)
i nierówność przyjmuje postać
–(2x – 2) ≥ x + x
zatem x ≤ ½
Ponieważ rozważamy nierówność dla x∈⟨0,1), to otrzymujemy: x∈⟨0,½⟩
• Rozważmy teraz nierówność na przedziale ⟨1,+∞).
Otrzymujemy wówczas, że
|x| = x oraz |2x – 2| = (2x – 2)
i nierówność przyjmuje postać
2x – 2 ≥ x + x
zatem –2≥0. Nierówność ta jest sprzeczna.
Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań w przedziałach (–∞,0) oraz ⟨0,1) , czyli
x∈(–∞,0)∪⟨0,½⟩.
zatem
II sposób
Zapiszmy nierówność w postaci
|2x – 2| ≥ x + |x|
Naszkicujmy wykresy funkcji
ƒ(x) = |2x – 2| oraz g(x) = x + |x|
Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu wspólnego obu wykresów:
(½,1) — możemy sprawdzić, że istotnie dla argumentu równego ½ wartości obu funkcji są równe 1. Zatem rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (–∞,½⟩ .