I sposób

Wykorzystujemy własności wartości bezwzględnej:

|a| + |b| ≥ |a + b| oraz |a| = |–a|:

|x + 5| + |x – 2| = |x + 5| +|2 – x| ≥ |x + 5 + 2 – x| = |7| = 7 .

Zatem wykazaliśmy, że nierówność |x + 5| + |x – 2| ≥ 7 jest prawdziwa dla każdej liczby rze­czywistej.

II sposób

Rozpatrujemy nierówność w trzech następujących przedziałach:

1)

x ∈ (–∞, –5⟩

–x – 5 – x + 2 ≥ 7

x ≤ –5

Uwzględniając założenie, wnioskujemy, że każda liczba rzeczywista z przedziału (-∞, –5⟩ spełnia nierówność

|x + 5| + |x – 2| ≥ 7.

2)

x ∈ (–5,2)

x + 5 – x + 2≥7

7 ≥ 7

Uwzględniając założenie, wnioskujemy, że każda liczba rzeczywista z przedziału (–5,2) spełnia nierówność

|x + 5| + |x – 2| ≥ 7

3)

x ∈ ⟨2, +∞)

x + 5 + x – 2 ≥ 7

x ≥ 2

Uwzględniając założenie, wnioskujemy, że każda liczba rzeczywista z przedziału ⟨2, +∞) spełnia nierówność

|x + 5| + |x – 2| ≥ 7

Nierówność |x + 5| + |x – 2| ≥ 7 jest prawdziwa w każdym z trzech rozpatrywanych przedzia­łów, zatem wykazaliśmy jej prawdziwość dla każdej liczby rzeczywistej.