Dla m = 1 wykresem funkcji ƒ jest prosta o równaniu y = –2x, która przecina się z prostą y = –x + 1 w jednym punkcie, więc dla m = 1 nie są spełnione warunki zadania.

Dla m ≠ 1 wykresem funkcji ƒ jest parabola, która ma z prostą o równaniu y = –x + 1 dwa punkty wspólne, gdy równanie

(m – 1)x² – 2x – m + 1 = –x + 1

ma dwa rozwiązania.

Przekształcając je równoważnie, otrzymujemy równanie kwadratowe:

(m – 1)x² – x – m = 0

Wyznaczamy wyróżnik:

Δ = 4m² – 4m + 1 = (2m – 1)²

Rozważane równanie ma dwa rozwiązania x₁, x₂ , gdy Δ>0, czyli dla

Rozwiązania x₁, x₂ , mają przeciwne znaki, gdy x₁·x₂<0

Korzystając ze wzoru Viète’a, możemy zapisać:

zatem

Nierówność jest prawdziwa dla

Z tego wynika, że wykres funkcji

przecina się z prostą o równaniu y = –x + 1 w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne mają przeciwne znaki, gdy m ∈ (–∞,0)∪(1,+∞)

Dla m = 1 wykresem funkcji ƒ jest prosta o równaniu y = –2x, która przecina się z prostą o równaniu y = –x + 1 w jednym punkcie, czyli dla parametru m = 1 nie są spełnione warunki zadania.

Dla m ≠ 1 wyznaczamy pierwsze współrzędne punktów przecięcia się wykresu funkcji ƒ z prostą o równaniu y = –x + 1

Ponieważ

Z tego wynika, że

m(m – 1) > 0

czyli