I sposób
Przekształcamy daną nierówność do postaci
8x2 – 4mx + 2m2 – 12x – 6m + 18 ≥ 0
Stosujemy odpowiednie grupowanie:
4x2 – 12x + 9 + 4x2 – 4mx + m2 + m2 – 6m + 9 ≥ 0
(2x – 3)2 + (2x – m)2 + (m – 3)2 ≥ 0
Zauważamy, że:
(2x – 3)2 ≥ 0 dla każdej liczby rzeczywistej x,
(2x – m)2 ≥ 0 dla każdych liczb rzeczywistych x i m,
(m – 3)2 ≥ 0 dla każdej liczby rzeczywistej m.
Stąd
(2x – 3)2 + (2x – m)2 + (m – 3)2 ≥ 0
dla każdych liczb rzeczywistych x i m
Zatem wykazaliśmy, że dla każdych liczb rzeczywistych x i m prawdziwa jest nierówność
8x2 – 4mx + 2m2 ≥ 12x + 6m – 18
II sposób
Przekształcamy daną nierówność do postaci
8x2 – 4mx + 2m2 – 12x – 6m + 18 ≥ 0
8x2 – (4m + 12)x + 2m2 – 6m + 18 ≥ 0
Lewą stronę nierówności traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej x z parametrem m:
Δ = 16m2 + 96m + 144 – 64m2 + 192m – 576 =
= –48m2 +288m – 43 =
= –48(m2 – 6m + 9)
Δ = –48(m2 – 6m + 9) =
= –48(m – 3)2
Rozważany trójmian kwadratowy
8x2 – (4m + 12)x + 2m2 – 6m + 18 ≥ 0
ma dodatni współczynnik przy x2 oraz niedodatni wyróżnik.
Z powyższych rozważań wynika, że nierówność
8x2 – 4mx + 2m2 ≥ 12x + 6m – 18
jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m.