Odpowiedź:

Wprowadzamy oznaczenia:
a — krawędź podstawy graniastosłupa,
H — wysokość graniastosłupa.

Z warunków zadania mamy:
6a + 3H = 12
stąd H = 4 – 2a

Zapisujemy wzór na objętość graniastosłupa:

dla 0<a<2.

Rozważamy funkcję ƒ(a) = –a3 + 2a2 określoną dla każdej liczby rzeczywistej a.

Obliczamy pochodną tej funkcji:
ƒ'(a) = –3a2 + 4a

Znajdujemy miejsca zerowe pochodnej:
–a(3a – 4) = 0
stąd a1 = 0, a2 = 43

Ponadto:
ƒ'(a) > 0 dla a należącego do przedziału (0,43)
ƒ'(a) < 0 w każdym z przedziałów (–∞,0) oraz (43,+∞)

Zatem funkcja ƒ jest rosnąca w przedziale ⟨0,43⟩ i malejąca w każdym z przedziałów (–∞,0⟩ oraz ⟨43,+∞).

Ponieważ V(a) = 32 · ƒ(a) dla 0<a<2, to w przedziale (0,2) funkcja V(a) ma ekstremum w tym samym punkcie, w którym ma je funkcja ƒ(a).

Stąd oraz z monotoniczności (współczynnik 32  jest liczbą dodatnią) wynika, że w punkcie a = 43 funkcja V przyjmuje największą wartość.

Szukane długości boków graniastosłupa są więc równe:
a = 43
H = 4 – 2·43 = 43.

Objętość graniastosłupa jest równa

V = 16√327
Powrót do pytań