Odpowiedź:
Niech x = |AO| = |BO| = |CO| (zobacz rysunek) oznacza promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa oraz h = |SO| oznacza wysokość tego ostrosłupa. Wówczas
x + h = 24

Wysokość AD w trójkącie ABC jest równa
Zatem promień x okręgu opisanego na trójkącie ABC (podstawie ostrosłupa) jest równy:
stąd

Wyznaczamy pole podstawy ostrosłupa:

Ponadto z równości
x + h = 24
otrzymujemy
h = 24 – x
gdzie
0 < x < 24

Zatem objętość tego ostrosłupa jest określona wzorem:
czyli

Należy obliczyć, dla jakiego x spełniającego nierówność 0 < x < 24 funkcja V określona wzorem
przyjmuje wartość największą.

Rozważamy funkcję
określoną dla każdej liczby rzeczywistej x.

Wyznaczamy pochodną tej funkcji ƒ:

Następnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej:

Ponadto:
  • ƒ'(x) < 0 w każdym z przedziałów (–∞, 0) oraz (16, +∞)
  • ƒ'(x) > 0 w przedziale (0, 16)
Zatem funkcja ƒ jest malejąca w każdym z przedziałów (–∞, 0⟩ oraz ⟨16, +∞) i rosnąca w przedziale ⟨0,16⟩.

Ponieważ
więc w przedziale x∈(0,24) funkcja V(x) ma ekstremum w tym samym punkcie, w którym funkcja ƒ(x).

Stąd wynika, że w punkcie x = 16 funkcja V przyjmuje wartość największą.

Objętość ostrosłupa jest równa:

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest największa i równa14n.png, gdy promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 16.