W tym sposobie rozwiązania pokażemy najpierw rozumowanie błędne polegające na policzeniu kilkakrotnym tych samych liczb. Wskazany błąd jest niezwykle często popełniany przez zdających rozwiązujących to zadanie; można go jednak dość łatwo naprawić. Wystarczy odjąć liczbę tych liczb, które były policzone dwukrotnie i odjąć podwojoną liczbę tych liczb, które były policzone trzykrotnie. Obliczenie, ile należy odjąć, jest dość łatwe. Problem polega jednak na tym, że zdający popełniający ten błąd nie zdają sobie sprawy z tego, na czym on polega - nie dostrzegają, że niektóre liczby policzyli wielokrotnie.

A oto rozwiązanie. Wiemy, że jedną z cyfr jest 9; możemy ją umieścić na jednym z trzech miejsc: pierwszym, drugim lub trzecim.

• Jeśli umieścimy dziewiątkę na pierwszym miejscu, to na drugim możemy umieścić dowolną z 10 cyfr, a na trzecim dowolną z pięciu cyfr nieparzystych. Łącznie daje to w tym przypadku 50 liczb.
• Jeśli umieścimy dziewiątkę na drugim miejscu, to na pierwszym możemy umieścić dowolną z 9 cyfr, a na trzecim dowolną z pięciu cyfr nieparzystych. Łącznie daje to w tym przypadku 45 liczb.
• Jeśli umieścimy dziewiątkę na trzecim miejscu, to na pierwszym możemy umieścić dowolną z 9 cyfr, a na drugim dowolną z 10 cyfr. Łącznie daje to w tym przypadku 90 liczb.

W sumie daje to

50 + 45 + 90 = 185

liczb.

Które liczby zostały policzone wielokrotnie? Popatrzmy na przykład. Przypuśćmy, że najpierw umieściliśmy cyfrę 9 na pierwszym miejscu, a na pozostałych miejscach umieściliśmy kolejno cyfry 5 i 9. Otrzymaliśmy liczbę 959. Przypuśćmy teraz, że najpierw umieściliśmy cyfrę 9 na trzecim miejscu, a następnie umieściliśmy na pierwszych dwóch miejscach kolejno cyfry 9 i 5. Znów otrzymaliśmy liczbę 959. Ta liczba została więc w powyższym sposobie zliczania policzona dwukrotnie. Zobaczmy teraz, w jaki sposób można poprawić to rozwiązanie błędne.

Dostaliśmy wynik 185. Zauważmy jednak, że liczby z dwiema dziewiątkami były policzone po dwa razy, a liczba 999 nawet trzy razy. Zliczamy teraz liczby z dwiema dziewiątkami.

• Jeśli umieścimy dziewiątkę na pierwszym i drugim miejscu, to na trzecim możemy umieścić dowolną z 4 cyfr nieparzystych: 1, 3, 5 lub 7.
• Jeśli umieścimy dziewiątkę na drugim i trzecim miejscu, to na pierwszym możemy umieścić dowolną z 8 cyfr (od 1 do 8).
• Jeśli umieścimy dziewiątkę na pierwszym i trzecim miejscu, to na drugim możemy umieścić dowolną z 9 cyfr (od 0 do 8).

W sumie okazuje się, że mamy 21 liczb z dwiema dziewiątkami. Od otrzymanego wyniku musimy zatem odjąć 21. Następnie mamy jedną liczbę (mianowicie 999) z trzema dziewiątkami. Policzyliśmy ją trzykrotnie, więc od otrzymanego wyniku musimy jeszcze odjąć 2. Zatem liczb, które nas interesują, jest

185 – 21 – 2 = 162

Pokazane na początku rozwiązanie błędne zawiera istotne elementy rozumowania prawidłowego, więc powinno być ocenione jako rozwiązanie częściowe. Uznajemy je za ,,istotny postęp”.

Zdający obliczy, że przy umieszczeniu dziewiątki na pierwszym miejscu otrzyma 50 liczb lub obliczy, że przy umieszczeniu dziewiątki na drugim miejscu otrzyma 45 liczb, lub obliczy, że przy umieszczeniu dziewiątki na trzecim miejscu otrzyma 90 liczb.

Zdający obliczy, że przy umieszczeniu dziewiątki na pierwszym miejscu otrzyma 50 liczb, przy umieszczeniu dziewiątki na drugim miejscu otrzyma 45 liczb i przy umieszczeniu dziewiątki na trzecim miejscu otrzyma 90 liczb. Nie wymagamy, by w tej kategorii otrzymał wynik łączny 185 liczb.

Zdający otrzyma wynik 185 liczb, następnie zauważy, że pewne liczby policzono wielokrotnie oraz obliczy, że 21 liczb policzono dwukrotnie. Za samo zauważenie, że pewne liczby zostały policzone wielokrotnie, bez podania prawidłowej ich liczby (na przykład w wyniku błędnego obliczenia), zdający otrzymuje 3 punkty.

Zdający pokona zasadnicze trudności zadania, zauważy, że liczba 999 była policzona trzykrotnie i obliczy poprawnie liczbę wszystkich rozważanych liczb:

50 + 45 + 90 – 21 – 2 = 162

Wszystkie interesujące nas liczby dzielimy na trzy grupy i policzymy liczby w każdej grupie.

• Do pierwszej grupy zaliczamy liczby zaczynające się dziewiątką.
• Do drugiej grupy zaliczamy liczby, w których pierwsza dziewiątka znajduje się na drugim miejscu.
• Do trzeciej grupy zaliczamy liczby, w których pierwsza dziewiątka znajduje się na trzecim miejscu.

Teraz zliczamy liczby znajdujące się w tych grupach.

• W pierwszej grupie znajduje się 50 liczb: na pierwszym miejscu jest dziewiątka, na drugim dowolna z 10 cyfr i na trzecim dowolna z pięciu cyfr nieparzystych.
• W drugiej grupie znajduje się 40 liczb: na pierwszym miejscu znajduje się jedna z 8 cyfr (nie może być 0 i 9), na drugim miejscu jest dziewiątka i na trzecim jedna z pięciu cyfr nieparzystych.
• W trzeciej grupie znajdują się 72 liczby: na pierwszym miejscu znajduje się jedna z 8 cyfr (jak wyżej), na drugim jedna z 9 cyfr (nie może być 9) i na trzecim miejscu znajduje się dziewiątka.

Łącznie mamy zatem 162 liczby.

Zdający rozwiązujący zadanie tą metodą zdaje sobie prawdopodobnie sprawę z niebezpieczeństwa policzenia tych samych liczb wielokrotnie i prawdopodobnie nie popełni większych błędów. Możliwe są natomiast drobne błędy rachunkowe.

Zdający prawidłowo zdefiniuje trzy grupy liczb.

Zdający obliczy, ile jest liczb w co najmniej jednej z tych trzech grup.

Zdający prawidłowo obliczy, ile jest liczb w każdej z tych trzech grup. Za prawidłowy wynik w dwóch grupach zdający otrzymuje 3 punkty.

Zdający pokona zasadnicze trudności zadania i obliczy poprawnie liczbę wszystkich rozważanych liczb:

50 + 40 + 72 = 162

Najpierw policzymy liczby, w których jest tylko jedna cyfra 9. Tym razem zastosujemy metodę znaną z powyższego błędnego rozwiązania, jednak użycie tej metody będzie poprawne, gdyż jest tylko jedna cyfra 9. Możemy umieścić ją na jednym z trzech miejsc.

• Jeśli umieścimy dziewiątkę na pierwszym miejscu, to na drugim możemy umieścić dowolną z 9 cyfr (od 0 do 8), a na trzecim dowolną z czterech cyfr nieparzystych: 1, 3, 5, 7. Łącznie daje to w tym przypadku 36 liczb.
• Jeśli umieścimy dziewiątkę na drugim miejscu, to na pierwszym możemy umieścić dowolną z 8 cyfr (od 1 do 8), a na trzecim dowolną z czterech cyfr nieparzystych: 1, 3, 5, 7. Łącznie daje to w tym przypadku 32 liczby.
• Jeśli umieścimy dziewiątkę na trzecim miejscu, to na pierwszym możemy umieścić dowolną z 8 cyfr (od 1 do 8), a na drugim dowolną z 9 cyfr (od 0 do 8). Łącznie daje to w tym przypadku 72 liczby.

W sumie daje to

36 + 32 + 72 = 140

liczb.

Teraz policzymy liczby, w których są dwie cyfry 9.

• Jeśli umieścimy dziewiątkę na pierwszym i drugim miejscu, to na trzecim możemy umieścić dowolną z 4 cyfr nieparzystych.
• Jeśli umieścimy dziewiątkę na drugim i trzecim miejscu, to na pierwszym możemy umieścić dowolną z 8 cyfr.
• Jeśli umieścimy dziewiątkę na pierwszym i trzecim miejscu, to na drugim możemy umieścić dowolną z 9 cyfr.

W sumie daje to

4 + 8 + 9 = 21

liczb.

Wreszcie mamy jedną liczbę z trzema dziewiątkami: 999.

Mamy więc

140 + 21 + 1 = 162

liczby.

Obliczenie, że istnieje 140 liczb z jedną dziewiątką lub obliczenie, że istnieje 21 liczb z dwiema dziewiątkami. Każde z tych obliczeń wymaga rozpatrzenia trzech przypadków w zależności od położenia dziewiątek. Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli prawidłowo rozpatrzy dwa z tych trzech przypadków i na tym poprzestanie lub popełni błąd w trzecim obliczeniu lub w obliczeniu sumy.

Obliczenie, że istnieje 140 liczb z jedną dziewiątką i istnieje 21 liczb z dwiema dziewiątkami. Jeśli zdający poprawnie wykona jedno z tych obliczeń, a w drugim popełni błąd taki jak opisany w poprzedniej kategorii, to otrzymuje 3 punkty. 

Podanie pełnej odpowiedzi. Jeśli zdający poprawnie obliczy, że istnieje 140 liczb z jedną dziewiątką lub 21 liczb z dwiema dziewiątkami, drugie z tych obliczeń doprowadzi do końca z błędem w jednym z trzech przypadków, następnie zauważy, że istnieje dokładnie jedna liczba z trzema dziewiątkami i poprawnie doda otrzymane liczby – uzyskując w efekcie wynik błędny – otrzymuje 4 punkty.

Najpierw policzymy wszystkie liczby trzycyfrowe nieparzyste. Wszystkich liczb trzycyfrowych jest 900; co druga jest nieparzysta. Istnieje zatem 450 liczb trzycyfrowych nieparzystych. Możemy również rozumować następująco: na pierwszym miejscu można umieścić jedną z dziewięciu cyfr, na drugim jedną z dziesięciu cyfr, a na trzecim jedną z pięciu cyfr nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9. Łącznie mamy zatem 9∙10∙5 = 450 liczb. Teraz policzymy wszystkie liczby nieparzyste, w których nie występuje cyfra 9. Tym razem na pierwszym miejscu możemy umieścić jedną z ośmiu cyfr (od 1 do 8), na drugim jedną z dziewięciu cyfr (od 0 do 8), a na trzecim jedną z czterech cyfr nieparzystych: 1, 3, 5, 7; łącznie mamy zatem 8∙9∙4 = 288 liczb. Liczby, o które chodzi w zadaniu, to oczywiście liczby należące do pierwszej grupy (wszystkie liczby nieparzyste) i nienależące do drugiej grupy (w której są liczby nieparzyste bez dziewiątki). Stąd wynika, że liczb, o które chodzi w zadaniu, jest 450 – 288 = 162.

Obliczenie liczby liczb trzycyfrowych: 900.

Obliczenie liczby nieparzystych liczb trzycyfrowych: 450. Jeśli zdający oblicza tę liczbę metodą rozmieszczania cyfr i popełni błąd rachunkowy, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli zdający stwierdzi, że istnieje 899 liczb trzycyfrowych i jako liczbę nieparzystych liczb trzycyfrowych poda liczbę 449 lub 450, to otrzymuje 1 punkt.

Obliczenie liczby nieparzystych liczb trzycyfrowych niezawierających cyfry 9: jest 288 liczb. Jeżeli zdający obliczy poprawnie liczbę nieparzystych liczb trzycyfrowych niezawierających cyfry 9, ale popełni błąd opisany w kategorii ,,istotny postęp'”, to otrzymuje 3 punkty.

Zdający otrzyma prawidłowy wynik (162 liczby), nie popełniając przy tym błędu (np. opisanego w kategorii ,,istotny postęp”). W przypadku gdy popełni taki błąd, otrzymuje 4 punkty.

Niektórzy zdający mogą zastosować w rozwiązaniu zasadę włączeń i wyłączeń, choć nie ma jej w podstawie programowej - mogli ją na przykład odkryć samodzielnie jako regułę niemal oczywistą intuicyjnie. Niech A będzie zbiorem liczb nieparzystych z dziewiątką na pierwszym miejscu, B zbiorem liczb nieparzystych z dziewiątką na drugim miejscu i wreszcie C zbiorem nieparzystych z dziewiątką na trzecim miejscu. Zbiorem liczb, które nas interesują, jest oczywiście zbiór A∪B∪C. Nietrudno teraz zauważyć, że:

Z zasady włączeń i wyłączeń dostajemy

Zdający zdefiniuje zbiory A, B i C i zauważy, że ma obliczyć .

Zdający obliczy .

Zdający obliczy .

Zdający poprawnie zapisze wzór włączeń i wyłączeń i podstawi do niego prawidłowe dane. Jeśli zdający zdefiniuje zbiory A, B i C, poprawnie zapisze wzór włączeń i wyłączeń i poprawnie obliczy co najmniej |A|, |B| i |C| oraz popełni błędy w pozostałych obliczeniach, to otrzymuje 3 punkty.

Jeśli zdający tylko zdefiniuje zbiory A, B i C oraz poprawnie zapisze wzór włączeń i wyłączeń, to otrzymuje 2 punkty.

Ten sposób rozwiązania, z pozoru nierozsądny, może jednak naprowadzić zdającego na stosunkowo proste rozwiązanie. Oczywiście wypisywanie wszystkich liczb spełniających warunki zadania nie może być dokonywane bez zastanowienia. Nie chodzi zatem o wypisanie w kolejności rosnącej wszystkich liczb trzycyfrowych (jest ich 900), wykreślenie liczb parzystych oraz liczb, w których nie występuje dziewiątka i zliczeniu liczb niewykreślonych. Jeśli zdający nie popełni błędu, powinien otrzymać 162 liczby. Oczywiście takie rozwiązanie, wykonane bezbłędnie, powinno być ocenione na 5 punktów.

Zdający może również wypisywać w kolejności rosnącej tylko właściwe liczby. Oto poprawny wynik:

8∙(9 + 5) 10∙5 = 162 liczby.

po których przychodzi 5 liczb postaci

Dla każdej cyfry c = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 wypiszemy w ten sposób 14 liczb. To łącznie daje 8∙14 = 112 liczb. Następnie wypisujemy liczby zaczynające się od dziewiątki. Warunek mówiący, że w zapisie liczby występuje dziewiątka, jest teraz spełniony; na drugim miejscu może zatem wystąpić dowolna z 10 cyfr, a na trzecim dowolna z pięciu cyfr nieparzystych: 1, 2, 5, 7, 9. To daje łącznie 50 liczb, a więc ostatecznie dostajemy 162 liczby.

Zdający mogą próbować wypisywać liczby w różnej kolejności, stosując różne strategie. W przypadku gdy zdający wyłącznie wypisuje liczby i podaje ostateczną odpowiedź, uznajemy tylko rozwiązania całkowicie bezbłędne: odpowiedź 162 popartą poprawną listą liczb. Za takie rozwiązanie zdający powinien otrzymać 5 punktów. Za rozwiązania polegające na wypisywaniu liczb, niezawierające wyjaśnień i prowadzące do błędnej odpowiedzi zdający powinien otrzymać 0 punktów. Jeśli zdający poda odpowiedź poprawną (162 liczby) bez jakiegokolwiek uzasadnienia, to za takie rozwiązanie można otrzymać co najwyżej 1 punkt. Jeśli natomiast poprawna odpowiedź jest poparta nieprawidłową listą liczb, to zdający otrzymuje 0 punktów. 

Metoda polegająca na wypisywaniu liczb może – jak widzieliśmy wyżej – prowadzić do trafnych uogólnień. Pokonanie zasadniczych trudności zadania polega na dokonaniu dwóch obserwacji: dla każdej cyfry różnej od 0 i 9 mamy 14 interesujących nas liczb zaczynających się tą cyfrą oraz dla cyfry 9 mamy 50 liczb zaczynających się tą cyfrą.

Jeśli zdający opisze regułę prowadzącą do wypisania poprawnej listy, to przyznajemy punkty według następującego schematu:

• Zdający zauważy, że jeśli pierwsza cyfra jest różna od 9, to mamy 14 liczb lub
• zdający zauważy, że jeśli pierwsza cyfra jest dziewiątką, to mamy 50 liczb. 

Uznajemy w tej kategorii rozwiązania, w których zdający wypisze w wyraźnie wyodrębnionej grupie 14 liczb zaczynających się np. od jedynki i wskaże (np. za pomocą trzech kropek), że ta sama reguła obowiązuje dla pozostałych pierwszych cyfr różnych od dziewiątki. Uznajemy także rozwiązania, w których zdający wyłącznie obliczy, że jest 50 liczb nieparzystych zaczynających się od dziewiątki.

Zdający zauważy obie reguły opisane w poprzedniej kategorii.

Zdający pokona zasadnicze trudności zadania i ponadto poprawnie obliczy liczbę wszystkich rozważanych liczb: 8∙14 + 50 = 162.

W tej metodzie rozwiązania zdający może popełnić wiele błędów. Na przykład może, wypisując liczby zaczynające się cyfrą 1, nie zauważyć, że liczba 199 pojawia się dwukrotnie: raz w ciągu 10 liczb

109, 119, 129, 139, 149, 159, 169, 179, 189, 199

i drugi raz w ciągu liczb

191, 193, 195, 197, 199.

Jeśli zdający wyłącznie zauważy, że istnieje 15 liczb zaczynających się od cyfry różnej od 9, powinien otrzymać 1 punkt. Inny błąd może polegać na złym obliczeniu, ile jest liczb zaczynających się od dziewiątki. Zdający może na przykład zapomnieć, że rozważamy wyłącznie liczby nieparzyste i przyjmie, że istnieje 100 takich liczb. Za taką obserwację też powinien otrzymać 1 punkt. Te błędy mogą prowadzić do następujących błędnych odpowiedzi:

8∙15 + 50 = 170 

oraz

8∙14 + 100 = 192

Za doprowadzenie rozwiązania do końca z jednym z tych dwóch błędów zdający powinien otrzymać 4 punkty. Oba opisane błędy prowadzą do odpowiedzi

8∙15 + 100 = 220,

za którą zdający powinien otrzymać 3 punkty.