Odpowiedź do zadania

Odpowiedź:

Sposób I (pierwsza pochodna)

Definiujemy funkcję ƒ określoną wzorem

Funkcja ƒ jest różniczkowalna, obliczamy pochodną funkcji:

Ponieważ

dla każdej liczby rzeczywistej x, to

ƒ'(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2

ƒ'(x) < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x∈(0,2)

ƒ'(x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x∈ (2, +∞)

Wynika stąd, że funkcja ƒ jest malejąca w przedziale (0,2⟩ i jest rosnąca w przedziale ⟨2, +∞) , czyli dla x = 2 przyjmuje wartość najmniejszą.

Obliczamy

, stąd wynika, że ƒ(x) ≥ 12 co należało udowodnić.

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt

Określenie funkcji

i obliczenie jej pochodnej

Pokonanie zasadniczych trudności 2 pkt

Obliczenie miejsca zerowego pochodnej i wyznaczenie przedziałów, w których pochodna ma „stały znak”:

ƒ'(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2

ƒ'(x) < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x∈(0,2)

ƒ'(x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x∈ (2, +∞)

Rozwiązanie pełne 3 pkt

Stwierdzenie, że funkcja ƒ jest malejąca w przedziale (0,2⟩ i jest rosnąca w przedziale ⟨2, +∞), czyli dla x = 2 przyjmuje wartość najmniejszą.

Obliczenie ƒ(2) = 12 i zapisanie wniosku: ƒ(x) ≥ 12, co należało udowodnić.

Uwagi

1. Zdający po obliczeniu, że ƒ'(x) = 0 tylko dla x = 2, może uzasadnić tezę korzystając z drugiej pochodnej funkcji ƒ.

2. Jeżeli zdający obliczy, że ƒ'(x) = 0 tylko dla x = 2 i stąd już wywnioskuje fakt: ƒ(x) ≥ ƒ(2) = 12, to za rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.

Komentarz

Jeżeli w obliczaniu pochodnej zdający popełni błąd, który nie zmieni miejsc zerowych pochodnej i dalej doprowadzi rozwiązanie do końca, to może otrzymać za całe zadanie maksymalnie 2 punkty. Przykłady tego typu błędów:

Jeżeli w obliczaniu pochodnej zdający popełni błąd, który zmienia miejsca zerowe pochodnej, to otrzymuje za zadanie 0 punktów.

Sposób II (przekształcenia równoważne)

Zapisujemy nierówność

i przekształcamy ją równoważnie:

Jeżeli x > 0 , to lewa strona nierówności jest nieujemna, jako iloczyn czynników nieujemnego i dodatniego, co należało udowodnić.

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt

Zapisanie nierówności w postaci

Pokonanie zasadniczych trudności 2 pkt

Zapisanie nierówności w postaci

Rozwiązanie pełne 4 pkt

Zapisanie nierówności w postaci i stwierdzenie, że jeżeli x > 0 , to lewa strona nierówności jest nieujemna, bo iloczyn czynników nieujemnego i dodatniego jest nieujemny, co kończy dowód

albo

zapisanie nierówności w postaci i stwierdzenie, że jeżeli x > 0 , to lewa strona nierówności jest nieujemna, bo suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, co kończy dowód.

Sposób III (funkcja wymierna)

Zapisujemy nierówność

w postaci równoważnej

. Przy założeniu x > 0 , nierówność ta jest równoważna nierówności

dla x > 0.

Określamy wielomian

Stwierdzamy, że jednym z miejsc zerowych wielomianu W jest liczba 2. Po podzieleniu wielomianu W przez dwumian x – 2 otrzymujemy iloraz

, który zapisujemy w postaci iloczynowej

Stąd

Stwierdzamy, że jeżeli x > 0 , to W(x) ≥ 0 jako iloczyn czynników nieujemnych, co kończy dowód.

Schemat oceniania III sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt

Stwierdzenie, że przy założeniu x > 0 , nierówność jest równoważna nierówności

dla x > 0.

Pokonanie zasadniczych trudności 2 pkt

Zapisanie wielomianu W w postaci iloczynowej

Rozwiązanie pełne 3 pkt

Uzasadnienie, że jeżeli x > 0 , to W(x) ≥ 0 co kończy dowód

Sposób IV (zastosowanie nierówności dla średniej arytmetycznej i geometrycznej)

Niektórzy zdający mogą odwołać się do tej nierówności, choć nie ma jej w podstawie programowej i, jak widzieliśmy, rozwiązanie zadania nie wymaga jej znajomości. Rozumowanie przebiega tak. Lewą stronę nierówności zapisujemy w postaci