Odpowiedź:
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Niech r będzie różnicą ciągu arytmetycznego (an). Z warunków zadania wynika, że liczby
a1, a4, a25 tworzą ciąg geometryczny. Zapisując informację o sumie ciągu geometrycznego,
otrzymujemy równanie
Stosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i podstawiamy do otrzymanego
równania:
Drugie równanie otrzymujemy korzystając z własności ciągu geometrycznego:
Stosujemy ponownie wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
Następnie należy rozwiązać układ równań:
Przekształcając drugie równanie, mamy
Rozwiązaniami są r = 0 oraz r = 4.
Jeśli r = 0, mamy do czynienia z ciągiem stałym, w którym każdy wyraz ciągu jest równy 38. Szukanymi liczbami są wtedy x = 38, y = 38 , z = 38.
Dla r = 4 mamy x = a1 = 2, y = a4 = 2 + 3 ⋅ 4 = 14, z = a25 = 2 + 24 ⋅ 4 = 98.
Sposób II
Oznaczmy wyrazy ciągu geometrycznego przez
x = b, y = bq oraz z = bq2, gdzie q jest ilorazem tego ciągu.
Z warunków zadania wynika, że są one pierwszym, czwartym i dwudziestym piątym
wyrazem ciągu arytmetycznego (an ) , zatem x = a1, y = a4, z = a25 Jeśli za r
przyjmiemy różnicę tego ciągu, możemy zapisać różnice pomiędzy tymi wyrazami jako:
y − x = bq − b = 3r
oraz
z − y = bq2 − bq = 21r
Zauważmy, że
bq2 − bq = 21r = 7 ⋅ 3r = 7 ⋅ (bq − b)
Otrzymujemy zatem równanie
bq2 − bq = 7bq − 7b
Z warunków zadania wiemy, że b ≠ 0 , więc możemy to równanie doprowadzić do postaci
q2 − 8q + 7 = 0
Pierwiastkami tego równania są liczby 1 oraz 7.
Zapisując warunek na sumę ciągu geometrycznego, mamy
b + bq + bq2 = 114
Dla q = 1 mamy
3b = 114
Zatem b = 38, czyli x = 38, y = 38, z = 38. Szukany ciąg to (38, 38, 38).
Dla q = 7 mamy
b + 7b + 49b = 114
57b = 114
Rozwiązaniem tego równania jest b = 2.
W tym przypadku x = 2, y = 14, z = 98.
Szukany ciąg ma postać (2, 14, 98).
schemat punktacji
4 pkt – zapisanie dwóch rozwiązań: x = 38, y = 38, z = 38 oraz x = 2, y = 14, z = 98
3 pkt – obliczenie dwóch ilorazów ciągu geometrycznego: q = 1 lub q = 7
ALBO
obliczenie dwóch różnic ciągu arytmetycznego: r = 0 lub r = 4
2 pkt – zapisanie sumy ciągu geometrycznego a1 + (a1 + 3r) + (a1 + 24r) = 114 oraz
warunku ciągu geometrycznego (a1 + 3r)2 = a1 ⋅ (a1 + 24r)
ALBO
zapisanie równania pozwalającego obliczyć iloraz ciągu geometrycznego:
q2 − 8q + 7 = 0
1 pkt – zapisanie sumy ciągu geometrycznego a1 + (a1 + 3r) + (a1 + 24r) = 114 albo
warunku ciągu geometrycznego (a1 + 3r)2 = a1 ⋅ (a1 + 24r)
ALBO
zapisanie warunków na różnice między wyrazami ciągu arytmetycznego:
bq − b = 3r oraz bq2 − bq = 21r
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.