(12 − r, 18, 48 + r)

Korzystając z własności ciągu geometrycznego, zapisujemy równanie:

18² = (12 − r) ⋅ (48 + r)

Po uproszczeniu otrzymujemy równanie kwadratowe

r² + 36r − 252 = 0

Posiada ono dwa rozwiązania: (−42) oraz 6.

Gdy r = −42, wówczas szukanym ciągiem arytmetycznym jest (50, 8, −34).

W przypadku, gdy r = 6, mamy ciąg arytmetyczny (2, 8, 14).

Niech (a_n) będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy r . Wtedy sumę tego ciągu możemy

zapisać jako

a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) = 24

Mamy stąd zależność

a₁ = 8 − r

Z warunków zadania mamy, że liczby

a₁ + 4, a₁ + r + 10, a₁ + 2r + 40

tworzą ciąg geometryczny. Korzystając z jego własności, otrzymujemy kolejną zależność:

(a₁ + r + 10)² = (a₁ + 4) ⋅ (a₁ + 2r + 40)

Po podstawieniu 

a₁ = 8 − r 

otrzymujemy

18² = (12 − r) ⋅ (48 + r)

Po uproszczeniu otrzymujemy równanie kwadratowe

r² + 36r − 252 = 0

Posiada ono dwa rozwiązania: (−42) oraz 6.

Gdy r = −42, wówczas a₁ = 50, zaś kolejne liczby tego ciągu to 8 i (−34).

W przypadku, gdy r = 6, mamy a₁ = 2, a kolejne wyrazy ciągu to 8 i 14 .

Szukanymi ciągami są: (50, 8, −34) oraz (2, 8, 14).

ALBO

zapisanie jednego z dwóch ciągów: (50, 8, −34) albo (2, 8, 14)

2 pkt – obliczenie środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego: b = 8

ALBO

zapisanie warunków na sumę ciągu arytmetycznego i warunku ciągu geometrycznego: 

a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) = 24 oraz

(a₁ + r + 10)² = (a₁ + 4) ⋅ (a₁ + 2r + 40)

1 pkt – zapisanie warunku na sumę ciągu arytmetycznego:

(b − r) + b + (b + r) = 24 lub a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) = 24

ALBO

zapisanie warunku ciągu geometrycznego:

(a₁ + r + 10)² = (a 1 + 4) ⋅ (a₁ + 2r + 40)

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.