Odpowiedź:
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wierzchołek 𝐴 leży na osi 𝑂𝑦, więc jego pierwsza współrzędna jest równa 0.
Obliczamy drugą współrzędną wierzchołka 𝐴:
𝑦 = −3𝑥 + 6 i 𝑥 = 0
𝑦 = −3 ⋅ 0 + 6
czyli 𝐴 = (0, 6).
Wierzchołek 𝐵 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego druga współrzędna jest równa 0.
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka 𝐵:
𝑦 = −3𝑥 + 6 i 𝑦 = 0
0 = −3𝑥 + 6
𝑥 = 2
Zatem 𝐵 = (2, 0).
Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:
Przekształcamy równanie prostej 𝐴𝐵 do postaci ogólnej: 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0.
Obliczamy odległość wierzchołka 𝐶 = (3, 7) od prostej 𝐴𝐵:
Obliczona odległość 𝑑 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵.
Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑃 = ½ ⋅ 2√10 ⋅ √10 = 10
Sposób II
Wierzchołek 𝐴 leży na osi 𝑂𝑦, więc jego pierwsza współrzędna jest równa 0.
Obliczamy drugą współrzędną wierzchołka 𝐴:
𝑦 = −3𝑥 + 6 i 𝑥 = 0 𝑦 = −3 ⋅ 0 + 6
czyli 𝐴 = (0, 6).
Wierzchołek 𝐵 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego druga współrzędna jest równa 0.
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka 𝐵:
𝑦 = −3𝑥 + 6 i 𝑦 = 0
0 = −3𝑥 + 6
𝑥 = 2
Zatem 𝐵 = (2, 0).
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 obliczymy korzystając z wzoru z Wybranych wzorów matematycznych:
𝑃∆𝐴𝐵𝐶 = ½ |(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)(𝑦𝐶 − 𝑦𝐴) − (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)((𝑥𝐶 − 𝑥𝐴))|
Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑃∆𝐴𝐵𝐶 = ½ |(2 − 0)(7 − 6) − (0 − 6)(3 − 0)| =
= ½ |2 − (−18)| = 10.
Rysunek ilustracyjny do zadania.
schemat punktacji
4 pkt – obliczenie pola 𝑃 trójkąta: 𝑃 = 10
3 pkt – obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√10 oraz obliczenie odległości wierzchołka 𝐶 od prostej 𝐴𝐵: 𝑑 = √10
ALBO
zapisanie pola trójkąta z wykorzystaniem wzoru z Wybranych wzorów
matematycznych: 𝑃∆𝐴𝐵𝐶 = ½ |(2 − 0)(7 − 6) − (0 − 6)(3 − 0)|
2 pkt – obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√10
ALBO
obliczenie odległości 𝑑 wierzchołka 𝐶 od prostej 𝐴𝐵i obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐵: 𝑑 = √10, 𝐴 = (0, 6), 𝐵 = (2, 0)
ALBO
obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐵: 𝐴 = (0, 6), 𝐵 = (2, 0) oraz zapisanie wzoru na pole trójkąta z Wybranych wzorów matematycznych:
𝑃∆𝐴𝐵𝐶 = ½ |(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)(𝑦𝐶 − 𝑦𝐴) − (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)((𝑥𝐶 − 𝑥𝐴))|
1 pkt – obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵: 𝐴 = (0 6), 𝐵 = (2, 0)
ALBO
obliczenie odległości 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵: 𝑑 = √10.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.