Przykładowe pełne rozwiązanie
Krok 1. dowodu
Powołamy się na definicję reszty z dzielenia dwóch liczb całkowitych. Liczba całkowita 𝑊 przy dzieleniu przez liczbę całkowitą 𝑃 daje resztę całkowitą 𝑅, wtedy, gdy istnieje liczba całkowita 𝑄 taka, że 𝑊 = 𝑃𝑄 + 𝑅 oraz 0 ≤ 𝑅 < |𝑃|. (Np. Liczba 22 przy dzieleniu przez 5 daje resztę równą 2, ponieważ 22 = 5 ⋅ 4 + 2, gdzie 4 jest liczbą całkowitą oraz 2 < 5).
Liczbę określoną w zadaniu przekształcimy do postaci: 5 ⋅ 𝑄 + 2:
20𝑛2 + 30𝑛 + 7 = 20𝑛2 + 30𝑛 + 5 + 2 = 5 ⋅ (4𝑛2 + 6𝑛 + 1) + 2
Krok 2. dowodu
Wykażemy dalej, że 4𝑛2 + 6𝑛 + 1 jest liczbą całkowitą.
Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, to 4𝑛2 oraz 6𝑛 są liczbami całkowitymi. Suma tych liczb całkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.
Z kroków 1.–2. dowodu wynika, że dla każdej liczby naturalnej 𝑛 liczba 20𝑛2 + 30𝑛 + 7 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.