Odpowiedź:
Przykładowe pełne rozwiązanie
Krok 1. dowodu 
Dwie kolejne liczby naturalne a i b, niepodzielne przez 3, można zapisać w postaci:

𝑎 = 3𝑘 + 1 oraz 𝑏 = 3𝑘 + 2, gdzie 𝑘 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, … }

Krok 2. dowodu

Zapiszemy liczbę z wykorzystaniem zapisu (krok 1. dowodu) oraz wzoru na sześcian sumy:

(3𝑘 + 1 )3 + (3𝑘 + 2 )3 = 27𝑘3 + 27𝑘2 + 9𝑘 + 1 + 27𝑘3 + 54𝑘2 + 36𝑘 + 8 = 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘 + 9 = 9 ⋅ (6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘 + 1)

Krok 3. dowodu
Liczbę 𝑎3 + 𝑏3 zapisaliśmy jako iloczyn liczby 9 oraz liczby 6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘 + 1. Dlatego, aby udowodnić podzielność przez 9, wystarczy wykazać, że drugi czynnik w rozkładzie (krok 2. dowodu) jest liczbą całkowitą.

Ponieważ 𝑘 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, … }, to 6𝑘3, 9𝑘2 oraz 5𝑘 są liczbami całkowitymi. Suma liczb całkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.

Z kroków 1.–3. dowodu wynika, że suma sześcianów dwóch kolejnych liczb niepodzielnych przez 3 jest liczbą podzielną przez 9.
schemat punktacji
3 pkt – przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako 9 ⋅ (6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘 + 1)
oraz zapisanie, że 6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘 + 1 jest liczbą całkowitą (kroki 1.–3. dowodu)
LUB
– przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘 + 9
oraz zapisanie, że każdy składnik sumy jest podzielny przez 9.
2 pkt – zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako (3𝑘 + 1 )3 + (3𝑘 + 2 )3 oraz przekształcenie tego wyrażenia
do postaci równoważnej wyrażeniu 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘 + 9 (kroki 1.–2. dowodu).
1 pkt – zapisanie liczb 𝑎 i 𝑏 w postaci: 𝑎 = 3𝑘 + 1 oraz 𝑏 = 3𝑘 + 2, gdzie 𝑘 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, … }(krok 1. dowodu).
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.