Odpowiedź do zadania

Odpowiedź:

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem:

3𝑥 + 4𝑦 − 2 ⋅ 10 = 580

Powyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki musi być większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku z tym, w modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦 spełniają:

𝑥 > 0 i 𝑦 > 10

Pole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 2𝑦. Zatem:

𝑃 = 𝑥 ⋅ 2𝑦

Pole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu najpierw wyznaczymy 𝑦:

3𝑥 + 4𝑦 − 2 ⋅ 10 = 580

4𝑦 = 600 − 3𝑥

𝑦 = 150 − ³⁄₄

Następnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃 = 𝑥 ⋅ 2𝑦:

𝑃(𝑥) = 2𝑥 (150 − ³⁄₄ 𝑥)

Wyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:

𝑦 = 150 − ³⁄₄ 𝑥 oraz 𝑦 > 10 oraz 𝑥 > 0

Zatem:

150 − ³⁄₄ 𝑥 > 10 oraz 𝑥 > 0

𝑥 < ⁵⁶⁰⁄₃ oraz 𝑥 > 0

Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości:

x ∈ (0, ⁵⁶⁰⁄₃ )

Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃

przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji kwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:

2𝑥 (150 − ³⁄₄ 𝑥 ) = 0

Z powyższego równania wynika, że:

2𝑥 = 0 lub 150 − ³⁄₄ 𝑥 = 0

𝑥₁ = 0 lub 𝑥₂ = 200

Funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:

𝑥 = ^{x₁ + x₁}⁄₂= 100 m

Obliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:

𝑦 = 150 m − ³⁄₄_{⋅ 100 m = 75 m}

_{Całkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:}

_{𝑥 = 100 m oraz 𝑦 = 75 m.}

schemat punktacji

4 pkt – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie prawidłowych wyników: 𝑥 = 100 m oraz 𝑦 = 75 m.

3 pkt – poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz prawidłowe obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥 = 100 m.

2 pkt – poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności od jednej zmiennej:

𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 − ³⁄₄𝑥) dla 𝑥 ∈ (0,⁵⁶⁰⁄₃ ).

1 pkt – zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃 = 𝑥 ⋅ 2𝑦

LUB

– zapisanie związku między wymiarami działki: 3𝑥 + 4𝑦 − 20 = 580.

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Powrót do pytań