Odpowiedź do zadania

Odpowiedź:

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

1. Wysokości trzech trójkątów: 𝐶𝐴𝑊₁, 𝐴𝐵𝑊₂, 𝐶𝐵𝑊₃, opuszczone z wierzchołków 𝑊₁, 𝑊₂, 𝑊₃oznaczymy odpowiednio jako: ℎ₁, ℎ₂, ℎ₃. Zapiszemy wzory na pola powierzchni tych trójkątów:

𝑃₁ = ¹⁄₂ ℎ₁|𝐴𝐶| 𝑃₂ = ¹⁄₂ ℎ₂|𝐴B| 𝑃₃ = ¹⁄₂ ℎ₃|CB|

2. Zapiszemy związki wynikające z podobieństwa trójkątów:

Δ𝐶𝐴𝑊₁ ∼ Δ𝐴𝐵𝑊₂ zatem

Δ𝐶𝐴𝑊₁ ∼ Δ𝐶𝐵𝑊₃ zatem

3. Ponownie zapiszemy wzory na pola trójkątów, wykorzystując powyższe zależności:

𝑃₁ = ¹⁄₂ ℎ₁|𝐴𝐶|

4. Obliczymy sumę 𝑃₁ + 𝑃₂.

𝑃₁ + 𝑃₂ =

5. Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:

Ponieważ

|𝐴𝐶|² + |𝐴𝐵|²= |𝐵𝐶|²

to

6. Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃₃:

𝑃₁ + 𝑃₂ = 𝑃₃

_{To kończy dowód.}

_{Sposób 2.
1. Wykorzystamy zależności między obwodami a polami figur płaskich podobnych:}

2. Wykorzystamy fakt, że stosunki obwodów trójkątów podobnych są równe stosunkom

długości podstaw tych trójkątów:

3. Z zależności 1. i 2. wynika:

4. Obliczymy sumę 𝑃₁ + 𝑃₂:

𝑃₁ + 𝑃₂ =

5. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:

|𝐶𝐴|² + |𝐴𝐵|² = |𝐵𝐶|²

Zatem równanie w drugim wierszu pkt 4. można zapisać w postaci:

Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃₃:

𝑃₁ + 𝑃₂ = 𝑃₃

_{To kończy dowód.}

schemat punktacji

3 pkt – prawidłowe przeprowadzenie pełnego dowodu równania: 𝑃₃ = 𝑃₁ + 𝑃₂.

2 pkt – zapisanie sumy pól trójkątów 𝐶𝐴𝑊₁, 𝐴𝐵𝑊₂ wyrażonej poprzez wysokość jednego

z nich:

oraz zapisanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|² + |𝐴𝐵|² = |𝐵𝐶|²

_{– zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta:}

,
zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za pomocą długości boków trójkąta i jednego z pól:

oraz zapisanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|² + |𝐴𝐵|² = |𝐵𝐶|²

LUB

– prawidłowe wyprowadzenie i zapisanie wyrażenia postaci:

1 pkt – zapisanie wzorów na pola trójkątów oraz wyrażenie wysokości dwóch trójkątów (na mocy ich podobieństwa) poprzez wysokość trzeciego z nich, np.:

𝑃₁ = ¹⁄₂ ℎ₁|𝐴𝐶|

– zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta, np.:

lub zależności równoważnych

LUB

– zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za pomocą długości boków trójkąta oraz

jednego z pól, np.:

(lub równoważnie).

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.