Odpowiedź:
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥 − 2 dla 𝑥 ∈ ℝ.
Obliczymy wartości funkcji 𝑓 w kilku punktach przedziału (−2 , 2):

𝑓(−1) = (−1)4 − 7 ⋅ (−1)3 + 9 ⋅ (−1)2 + 8 ⋅ (−1) − 2 =7

𝑓(0) = −2

𝑓(1) = 14 − 7 ⋅ 13 + 9 ⋅ 12 + 8 ⋅ 1 − 2 = 9

Funkcja 𝑓 jest ciągła jako funkcja wielomianowa, więc na mocy twierdzenia Darboux funkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (−1 , 0) wszystkie wartości ze zbioru (−2 , 7).
Zatem istnieje 𝑥1 ∈ (−1 , 0) takie, że 𝑓(𝑥1) = 0.
Podobnie, funkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (0 , 1) wszystkie wartości ze zbioru (−2 , 9), więc istnieje 𝑥2 ∈ (0 , 1) takie, że 𝑓(𝑥2) = 0.
To oznacza, że w przedziale (−2 , 2) równanie podane w treści zadania ma co najmniej dwa różne rozwiązania.
schemat punktacji
3 pkt – przeprowadzenie pełnego dowodu.
2 pkt – podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥 − 2 takich trzech argumentów 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 leżących w przedziale (−2 , 2), dla których 𝑓(𝑥1) > 0, 𝑓(𝑥2) < 0 i 𝑓(𝑥3) > 0.
1 pkt – podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥 − 2 takich dwóch argumentów 𝑥1 < 𝑥2 leżących w przedziale (−2 , 2), dla których 𝑓(𝑥1) ⋅ 𝑓(𝑥2) < 0.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.