Odpowiedź:
Niech punkty C i D leżą na paraboli y = 2x2 + 2, a punkty E i F leżą na odcinku AB (zob. rysunek). Oznaczmy przez x odległość punktu D od osi Oy.


Wówczas punkt D ma współrzędne
D = (x, 2x2 + 2)
punkt C ma współrzędne
C = (–x, 2x2 + 2)

Punkty E i F leżą na prostej o równaniu y = 4 , zatem ich współrzędne są równe:
E = (x, 4) i F = (–x, 4)

Wyznaczamy długości boków CD i DE prostokąta CDEF:

Zatem pole prostokąta CDEF jest określone wzorem:
czyli

Rozważamy funkcję
określoną dla każdej liczby rzeczywistej x.

Wyznaczamy pochodną tej funkcji ƒ:

Następnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej:

Ponadto:
  • ƒ'(x) < 0 w każdym z przedziałów 
  • ƒ'(x) > 0 w przedziale 
Zatem funkcja ƒ jest malejąca w każdym z przedziałów 15k.png i rosnąca w przedziale 15l.png.

Ponieważ
więc w przedziale x∈(0,1) funkcja P(x) ma ekstremum w tym samym punkcie, w którym funkcja ƒ(x).

Stąd wynika, że w punkcie 15n.png funkcja P przyjmuje wartość największą.

Obliczamy wymiary prostokąta:

Największe pole ma prostokąt o wymiarach 15q.png. Jest ono równe .
Powrót do pytań